Đề bài
Cho tam giác (ABC) cân tại (A), các đường phân giác (BD, CE) ((D ∈ AC, E ∈ AB)). Chứng minh rằng (BEDC) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Chủ Đề Bài Viết: Bài 16 trang 75 sgk toán 8 tập 1
Lời giải chi tiết
(Delta ABC) cân tại (A) (giả thiết)
( Rightarrow left{ begin{array}{l}AB = AC\widehat {ABC} = widehat {ACB}end{array} right.) (tính chất tam giác cân)
Vì (BD, CE) lần lượt là phân giác của (widehat {ABC}) và (widehat {ACB}) (giả thiết)
( Rightarrow left{ begin{array}{l}widehat {{B_1}} = widehat {{B_2}} = dfrac{{widehat {ABC}}}{2}\widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}} = dfrac{{widehat {ACB}}}{2}end{array} right.) (tính chất tia phân giác)
Mà (widehat {ABC} = widehat {ACB}) (chứng minh trên)
( Rightarrow widehat {{B_1}} = widehat {{B_2}} = widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}})
Xét (∆ABD) và (∆ACE) có:
Xem Thêm: Hình nền màu xanh lá cây cute tuyệt đẹp
+) (AB = AC) (chứng minh trên)
+) (widehat{A}) chung
+) (widehat {{B_1}} = widehat {{C_1}}) (chứng minh trên)
( Rightarrow Delta ABD = Delta ACE{rm{ }}left( {g.c.g} right) )
(Rightarrow A{rm{D}} = A{rm{E}}) ((2) cạnh tương ứng).
Ta có (AD = AE) (chứng minh trên) nên (∆ADE) cân tại (A) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
( Rightarrow widehat {A{rm{ED}}} = widehat {AD{rm{E}}}) (tính chất tam giác cân)
Xét (∆ADE) có: (widehat {A{rm{ED}}} + widehat {AD{rm{E}}} + widehat A = {180^0}) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
(begin{array}{l}Rightarrow 2widehat {A{rm{ED}}} + widehat A = {180^0}\Rightarrow widehat {A{rm{ED}}} = dfrac{{{{180}^0} – widehat A}}{2}left( 1 right)end{array})
Xét (∆ABC) có: (widehat A +widehat {ABC} + widehat {ACB} = {180^0}) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Mà (widehat {ABC} = widehat {ACB}) (chứng minh trên)
Xem Thêm: TOP 10 game trốn thoát (Escape) hay nhất trên điện thoại
(begin{array}{l}Rightarrow widehat {2ABC} + widehat A = {180^0}\Rightarrow widehat {ABC}= dfrac{{{{180}^0} – widehat A}}{2}left( 2 right)end{array})
Từ (1) và (2) (Rightarrow widehat{A{rm{ED}}}) = (widehat{ABC}), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra (DE // BC) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Do đó (BEDC) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).
Lại có (widehat{ABC}) = (widehat{ACB}) (chứng minh trên)
Nên (BEDC) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Ta có:
(DE//BC Rightarrow widehat {{D_1}} = widehat {{B_2}}) (so le trong)
Lại có (widehat{B_{2}}) = (widehat{B_{1}}) (chứng minh trên) nên (widehat{B_{1}}) = (widehat{{D_{1}}})
( Rightarrow Delta EB{rm{D}}) cân tại (E) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
( Rightarrow EB = E{rm{D}}) (tính chất tam giác cân).
Vậy (BEDC) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Loigiaihay.com
Xem Thêm: Đất nước của Nguyễn Khoa Điềm đem đến cho em hiểu biết gì về đất nước
